ПОМОЩЬ по Алгебре/Геометрии

[Linux forever!]

Розочка-Иринка

Спасибо большое! Приятно было читать Ваши слова!

[Vista]

Всем привет! Кто может,помогите решить следующие задания по математике.
За ранее спасибо!

[Розочка-Иринка]

Задание 1

[Vista]

Розочка-Иринка спасибки большущее!

[Розочка-Иринка]

Мне тоже помощь нужна(((
1.

α = 0,3
β = 3
Требуется определить план производства, который бы обеспечил полное использование сырья.
-
П.С. здесь как я поняла нужно составить систему уравнений и решить методом Гаусса.
2.

А (-10;5), В (2;-4), С (0;10)
3.Найти пределы функции.

4.Исследовать функции методами дифференциал. исчислений и построить их графики, используя данные исследования

[Electra]

Розочка-Иринка
А ты где сейчас учишся? На каком курсе?

[Linux forever!]

Vista

Для определения координат вектора нужно вычесть из координат конца вектора координаты начала вектора. Вам помогли не совсем правильно (два раза минус потеряли). Должно быть
a1(0, 6, 4)
a2(-2, 0 2)
a3(2, 4 -4)
b(10, 18, -12)

Чтобы проверить, что векора a1, a2, a3 образуют базис, нужно найти определитель матрицы, составленной из координат вектора, и убедиться, что он отличен от нуля. Если Вы его посчитаете, получится 8, что не равно нулю. Значит вектора линейно независимы, то есть образуют базис. Теперь найдём разложение вектора b по базису. Пусть разложение выглядит так: b=x*a1+y*a2+z*a3. Тогда нужно решать систему уравнений:
(0 -2 2 | 10)
(6 0 4 | 18)
(4 2 -4 | -12)
Базисные векторы записаны в виде столбцов, искомый вектор в виде свободных членов, неизвестные x, y, z. Скобочки нужно писать одни на три строки. Делаем преобразования:
(6 0 4 | 18)
(0 -2 2 | 10)
(0 -6 20 | 72)

(1 0 2/3 | 3)
(0 1 -1 | -5)
(0 0 7 | 21)

z=3
y=-5+z=-2
x=3-(2/3)z=1
Итак, b=a1-2*a2+3*a3.

Метод Гаусса, который Вам не показали, очень простой. Объясню его для матрицы 3*3 (расширенной конечно), хотя это верно для любой квадратной расширенной матрицы. Сначала с помощью изменения порядка строк делаете так, чтобы в левом верхнем углу был не ноль. это всегда возможно, потому что если весь первый столбец состоит из нулей, то первая переменная несущественная (она может принимать любое значение и её можно исключить из системы). Теперь делим первую строку на левое число (все числа, а также свободный член делим на это число). Затем мысленно домножаем первую строку на левое число во второй строке и вычитаем первые две строки (неважно из какой вычитать какую) и результат пишем на месте второй строки, а первую не меняем. Замет мысленно домножаем первую строку на левое число третьей строки и вычитаем первую и третью строки. таким образом в первом столбце получаем вверху один, а нижу все нули (у нас два нуля).

Теперь переходим ко второму столбцу и меняем строки от второй и ниже (у нас вторую и третью) так, чтобы на второй строке во втором столбце был не ноль, и делим вторую строку на это число. Затем мысленно домножаем вторую строку на число в третьей строке втором столбце и вычитаем вторую и третью строки. Теперь у нас во втором столбце на второй строке один, а ниже все нули.

И наконец делим третью строку на число в третьей строке третьем столбце.

В итоге в нашей матрице по главной диагонали стоят единицы, а ниже и левее все нули. дальше, если непонятно, можно переписать систему в текущем виде в виде системы уравнений (а можно просто представить себе это) и тогда сразу станет ясно, что из последней строки сразу видно, что последняя переменная равна числу справа в последней строке, из предпоследней строки находим предпоследнюю переменную вычитанием из свободного члена второй строки произведения третьего числа второй строки на третья переменную, которую мы уже нашли, а первую переменную находим двумя вычитаниями из свободного члена первой строки соответствующих произведений найденных переменных и коэффициентов первой строки (второго и третьего).

Потренируйтесь, здесь главное не ошибаться. Ещё отмечу, что если в какой-то строке все три коэффициента получаются равными нулю, то если свободный член этой строки ненулевой, решений у системы нет, если нулевой, то решений бесконечно много.

Ступенчатый вид - это вид матрицы, у которой в каждой строке слева идёт несколько нулей (в том числе и ни одного может быть), затем единица, затем какие-то числа, причём в каждой строке, кроме первой, количество нулей от начала строки обязательно больше, чем в предыдущей. Преобразовывать матрицу следует также, как в методе Гаусса, только помнить, что умножение любой строки на ненулевое число увеличивает определитель матрицы в это же число раз (потом нужно будет не забыть разделить), а сложение и вычитание строк определитель матрицы не меняет. Если у матрицы все числа под главной диагональю равны нулю, то её определитель равен произведению её диагональных элементов.

А вот причём здесь элементы ряда? Что за ряд? Без дополнительного объяснения вряд ли смогу помочь.

[Vista]

Linux forever! ой,столько всего... Спасибо!
Определитель матрицы я расписала,получилось 8,как вы и сказали. А дальше что-то не пойму,что за система и тд. Как у вас получилось 72,21... что на что умножали или + и тд.
Если вас все же не затруднит,написать сами решения,вычисления к тем заданиям о которых вы писали,и более подробно-что на что умножали,+ и тд. Стыдно,но мне мало что понятно
Еще раз спасибо!

[Розочка-Иринка]

Linux forever!,система выглядит так???:
х-2у+2z=10
6х+y+4z=18
4x+2y-4z=-12
вопрос,как получилось
(6 0 4 | 18)
(0 -2 2 | 10)
(0 -6 20 | 72) что ты сделал?
и так же
(1 0 2/3 | 3)
(0 1 -1 | -5)
(0 0 7 | 21)

[Linux forever!]

Розочка-Иринка

Задание 1.
Обозначаем через x1, x2, x3 - план производства соответствующей продукции. Для полного использования сырья, получаем систему уравнений и решаем её:


Задание 3.
Решаем элементарные пределы. Вся суть в том, что нужно избавиться от нуля в знаменателе или от бесконечности в числителе. Ну, и конечно пользуемся первым и вторым замечательными пределами. Проще не бывает.


Vista
Посмотрите на пример решения системы. Здесь подробнее. Что именно непонятно?

a1(0, 6, 4)
a2(-2, 0 2)
a3(2, 4 -4)
b(10, 18, -12)

Раздложение вектора b по базису a1, a2, a3 имеет вид b=x*a1+y*a2+z*a3, где x, y, z - числа. Последнее равенство мы можем записать для первых координат всех векторов, то есть
0*x - 2*y + 2*z = 10,
для вторых координат векторов, то есть
6*x + 0*y + 4*z = 18,
и для третьих координат векторов, то есть
4*x + 2*y - 4*z = -12.

Эти три уравнения образуют систему относительно неизвестных x,y,z, которые и являются коэффициентами разложения вектора b по базису a1, a2, a3.
Запишем эту систему в виде матрицы:
(0 -2 2 | 10)
(6 0 4 | 18)
(4 2 -4 | -12)
А дальше решаем эту систему любым удобным образом и получаем ответ. Я написал Вам подробно, как решить систему например методом Гаусса. Распишите подробно сами и всё поймёте. Просто очень долго получается писать в скриптах эти формулы. Если бы Вы были в Москве, я бы Вам объяснил, просто здесь писать много, а думать мало. Считать только нужно, не ошибаясь.

Попробуйте решить и задавайте вопросы, если не получится.

[Розочка-Иринка]

Linux forever!

[Linux forever!]

Розочка-Иринка

Картинки нормально видно было? Или нужно было крупнее шрифт делать? Просто в оригинале всё чётко видно (.odt) в .pdf чуть хуже, а на сайте вообще качество ухудшается (это radikal.ru ухудшает качество, чтобы меньше места файл занимал). Если нужно, могу выложить на FTP сервер исходные файлы для скачивания. Там всё хорошо видно.

Задание 3.
Я подумал, что в этом задании формулы слишком простые, чтобы тратить время на их набор в OpenOffice.org Math. Надеюсь, что будет понятно.
sqrt(x) - корень квадратный из числа x
x^y - x в степени y

А (-10;5), В (2;-4), С (0;10)
а) Длина стороны AB равна sqrt((2-(-10))^2 + (-4-5)^2) = sqrt(12^2 + (-9)^2) = sqrt(144 + 81) = sqrt(225) = 15. Уравнение стороны AB - это уравнение прямой проходящей через две точки A и B, то есть (x-(-10))/(2-(-10))=(y-5)/(-4-5) или (x+10)/12 = (y-5)/(-9) или (-9)(x+10) = 12(y-5) или -9x-90=12y-60 или 9x+12y+30=0 или 3x+4y+10=0.
Для справки: Уравнение прямой, проходящей через две точки
Для нахождения углового коэффициента этой прямой запишем её уравнение в виде функции y(x), что возможно в данном случае, так как коэффициент при y не равен нулю, и найдём производную функции y по аргументу x. эта производная и будет равна тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси OX (то есть угловому коэффициенту):
3x+4y+10=0
4y=-3x-10
y=(-3/4)x-5/2
dy/dx=-3/4
Угловой коэффициент равен -3/4.
Вектор нормали - это такой единичный (длина его равна единице) вектор, скалярное произведение которого с данным равно нулю, то есть они перпендикулярны (вектора нормали существует два). Вектор AB имеет координаты (12, -9). Пусть вектор нормали имеет координаты (x, y). Тогда их скалярное произведение равно нулю, то есть 12x-9y=0, а длина вектора нормали равна единице, то есть x^2 + y^2 = 1. Из первого уравнения y=(4/3)x. Подставляем во второе уравнение: x^2 + (16/9)x^2 = 1 или (25/9)x^2 = 1 или x^2 = 9/25 и y=(4/3)x. Получаем два вектора нормали (-3/5, -4/5) и (3/5, 4/5).

б) Для начала найдём координаты точки Д (странно, что это не латинская буква!). Пусть её координаты (x,y). Так как эта точка лежит на прямой AB, её координаты удовлетворяют уравнению прямой AB, то есть 3x+4y+10=0. Кроме того векторы AB и CД перпендикулярны, так как CД - это высота, а значит их скалярное произведение равно нулю. Вектор AB имеет координаты (12, -9), вектор СД имеет координаты (x-0, y-10), то есть (x, y-10). Получаем второе уравнение (скалярное произведение равно нулю): 12x-9(y-10)=0 или 12x-9y+90=0.
Значит из системы уравнений
3x+4y+10=0
12x-9y+90=0
находим координаты вектора СД.
12x+16y+40=0
12x-9y+90=0

25y-50=0 => 25y=50 => y=2 = 3x=-10-4y=-10-8=-18 => x=-6
Итак точка Д имеет координаты (-6, 2). Следовательно вектор СД имеет координаты (x, y-10)=(-6, 2-10)=(-6, -8), поэтому длина отрезка СД равна sqrt((-6)^2 + (-8)^2)=sqrt(36+64)=sqrt(100)=10.
Уравнение высоты СД - это уравнение прямой, проходящей через точки С и Д, то есть (x-0)/(-6-0)=(y-10)/(2-10) или x/(-6)=(y-10)/(-8) или 8x=6(y-10) или 8x=6y-60 или 8x-6y+60=0.

в) Поскольку СД перпендикулярно AB и точка M симметричка точке А относительно прямой СД, то точка М лежит на прямой АВ, причём АД=ДМ.
А(-10, 5), Д(-6, 2), пусть М(x, y). Тогда
АД=sqrt((-6-(-10))^2 + (2-5)^2)=sqrt(4^2 + (-3)^2)=sqrt(16+9)=sqrt(25)=5
ДМ=sqrt((x-(-6))^2 + (y-2)^2) = sqrt((x+6)^2 + (y-2)^2)
АД=ДМ => sqrt((x+6)^2 + (y-2)^2)=5 => (x+6)^2 + (y-2)^2 = 25
Точка М лежит на прямой АВ => 3x+4y+10=0 => y=(-3/4)x-5/2. Подставим это уравнение в предыдущее:
(x+6)^2 + ((-3/4)x-5/2-2)^2 = 25
(x+6)^2 + ((-3/4)x-9/2)^2 = 25
x^2+12x+36+(9/16)x^2+(27/4)x+81/4=25
(25/16)x^2+(75/4)x+125/4=0
(1/16)x^2+(3/4)x+5/4=0
x^2+12x+20=0
(x+10)(x+2)=0
Заметим, что мы искали точку на прямой АВ, которая удалена от точки Д на расстояние АД, но таких точки две: это А и М. x=-10 соответствует точке А (по условию её координаты такие), а x=-2 соответствует точке М. Для точки М y=(-3/4)x-5/2=(-3/4)(-2)-5/2=3/2-5/2=-2/2=-1. Итак точка М имеет координаты (-2, -1).

г) Найдём уравнение прямой ВС как уравнение прямой, проходящей через две точки В и С: (x-2)/(0-2)=(y-(-4))/(10-(-4)) или (x-2)/(-2)=(y+4)/14 или 14(x-2)=(-2)(y+4) или 7(x-2)=-y-4 или 7x-14=-y-4 или 7x+y-10=0. Любая прямая, параллельная данной, имеет те же коэффициенты при x и при y. То есть она имеет уравнение 7x+y+c=0, где с - неизвестная. Но мы знаем, что эта прямая (параллельная ВС), проходит через точку М с координатами (-2, -1). Подставим координаты точки М в уравнение искомой прямой и найдём с: 7(-2)+(-1)+с=0 => c=14+1=15. Значит, искомое уравнение прямой 7x+y+15=0.

д) Итак уравнение прямой АВ: 3x+4y+10=0, уравнение прямой ВС: 7x+y-10=0. Найдём уравнение прямой АС как уравнение прямой, проходящей через две точки А и С: (x-(-10))/(0-(-10))=(y-5)/(10-5) или (x+10)/10=(y-5)/5 или x+10=2(y-5) или x+10=2y-10 или x-2y+20=0.
Чтобы задать треугольник АВС тремя неравенствами, нужно для каждой прямой определить, с какой стороны от неё лежит третья вершина треугольника. Подставим координаты точки С в уравнение прямой АВ: 3x+4y+10=3*0+4*10=0+40=40>0 => получаем первое неравенство 3x+4y+10>=0. Подставим координаты точки А в уравнение прямой ВС: 7x+y-10=7*(-10)+5-10=-70+5-10=-75<0 => получаем второе неравенство 7x+y-10<=0. И наконец подставим координаты точки В в уравнение прямой АС: x-2y+20=2-2*(-4)+20=2+8+20=30>0 => получаем третье неравенство x-2y+20>=0.
Итак треугольник АВС (его стороны и внутренность) задаётся системой из трёх неравенств:
3x+4y+10>=0
7x+y-10<=0
x-2y+20>=0

е) Точка С имеет координаты (0, 10), точка Д имеет координаты (-6, 2). СД - диаметр => координаты центра окружности - это координаты середины отрезка СД, то есть полусумма соответствующих координат точек С и Д, то есть ((0-6)/2, (10+2)/2)=(-6/2, 12/2)=(-3, 6). Радиусом окружности будет например расстояние от его центра до точки С, то есть sqrt((-3-0)^2 + (6-10)^2)=sqrt((-3)^2 + (-4)^2)=sqrt(9+16)=sqrt(25)=5.
Уравнение окружности с центром в точке (-3, 6) и радиусом 5 имеет вид:
(x-(-3))^2 + (y-6)^2 = 5^2
(x+3)^2 + (y-6)^2 = 25
x^2+6x+9+y^2-12y+36=25
x^2+y^2+6x-12y+20=0

ж) Надеюсь, ты сможешь сделать чертёж по найденным данным? Просто я на компьютере никогда геометрические чертежи не делал. Надеюсь, что тебе это будет нетрудно. Тем более в условии ничего не сказано о том, что именно нужно обозначить на чертеже.

У меня ещё вопрос по заданию 4. Вам давали план, по которому нужно исследовать функции? Я понимаю, что нужно искать экстремумы, промежутки возрастания и убывания, промежутки выпуклостей, пересечения с осями координат, точки разрыва и их вид, узнать куда стремится функция слева и справа от точек разрыва и на +-бесконечности. Но я наверняка что-то мог пропустить. Или может у вас порядок определённый есть? Напиши, если что-то знаешь, мне тогда проще будет. Хотя там итак просто, только вот нарисовать опять-таки вряд ли получится, разве что все слова написать и объяснить, как рисовать, а потом ты нарисуешь и выложишь, чтобы я проверил. Потом обсудим.

Заранее спасибо.

[ANGEL_SMERTY]

Люди добрые,пожалуйста помогите!В матане я полный ноль!Тут две домашние работы,если кто-нибудь знает как делать-буду очень благодарна!!

[Linux forever!]

ANGEL_SMERTY
Вы не хотите приехать в МФТИ? Просто писать эти формулы на компьютере значительно дольше, чем Вам ехать? Вы же всё равно в Москве. Я могу Вам объяснить, как решаются такие задания, думаю даже лучше поймёте, чем просто по готовым решениям.

[Искорка]

Помогите!
Даны координаты вершин треугольника.нужно:
1)составить уравнение серединных перпендикуляров;
2) найти координаты центра описаного и вписаного круга;
3)координаты пересечния медиан
буду очень благодарна!